Aufbau
Lernbereiche nach Jahrgangsstufe
Jahrgangsstufe 54 Lernbereiche
- Natürliche und ganze Zahlen – Addition und Subtraktion
- Geometrische Figuren und Lagebeziehungen
- Natürliche und ganze Zahlen – Multiplikation und Division
- Größen und ihre Einheiten
Jahrgangsstufe 63 Lernbereiche
- Rationale Zahlen
- Flächeninhalt und Volumen
- Prozentrechnung, Daten und Diagramme
Jahrgangsstufe 75 Lernbereiche
- Terme mit Variablen
- Geometrische Figuren: Symmetrie und Winkel
- Lineare Gleichungen und Vertiefung der Prozentrechnung
- Kenngrößen von Daten
- Kongruenz, besondere Dreiecke und Dreieckskonstruktionen
Jahrgangsstufe 87 Lernbereiche
- Funktion und Term
- Lineare Funktionen
- Elementare gebrochen-rationale Funktionen
- Bruchterme und Bruchgleichungen
- Laplace-Experimente
- Lineare Gleichungssysteme
- Kreis und Zylinder
Jahrgangsstufe 97 Lernbereiche
- Quadratwurzeln
- Quadratische Funktionen
- Wahrscheinlichkeit verknüpfter Ereignisse
- Ähnlichkeit und Strahlensatz
- Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten und Erweiterung des Potenzbegriffs
- Satz des Pythagoras
- Trigonometrie
Jahrgangsstufe 105 Lernbereiche
- Exponentielles Wachstum und Logarithmus
- Zusammengesetzte Zufallsexperimente und stochastische Simulationen
- Sinus- und Kosinusfunktion
- Ganzrationale Funktionen
- Fortführung der Raumgeometrie
Jahrgangsstufe 114 Lernbereiche
- Spezielle Eigenschaften von Funktionen
- Gebrochen-rationale Funktionen – Grenzwerte und Asymptoten
- Bedingte Wahrscheinlichkeit und stochastische Unabhängigkeit
- Grundlagen der Differentialrechnung
Jahrgangsstufe 1210 Lernbereiche
- Untersuchung von Funktionen – Stammfunktion, Produkt- und Kettenregel
- Zufallsgrößen und Binomialverteilung
- Einseitiger Signifikanztest
- Untersuchung von Funktionen – Quotientenregel, Umkehrfunktion
- Grundlagen der Koordinatengeometrie im Raum
- Vertiefungskurs: Komplexe Zahlen
- Vertiefungskurs: Folgen und Reihen
- Vertiefungskurs: Matrizen
- Vertiefungskurs: Zahlentheorie und Kryptologie
- Vertiefungskurs: Statistik
Jahrgangsstufe 134 Lernbereiche
- Flächeninhalt und bestimmtes Integral
- Normalverteilung
- Geraden und Ebenen im Raum
- Anwendungen der Differential- und Integralrechnung
Kompetenzen im Detail
Was Schüler:innen können sollen
Jahrgangsstufe 5
Natürliche und ganze Zahlen – Addition und Subtraktion
12 Kompetenzen
- 1wenden die bereits in der Grundschule erlernten schriftlichen Rechenverfahren der Addition und der Subtraktion natürlicher Zahlen auch auf natürliche Zahlen größer als eine Million automatisiert an. Ihre Ergebnisse überprüfen sie durch Abschätzen der Größenordnung kritisch.
- 2erläutern, warum die Menge der natürlichen Zahlen kein größtes Element besitzt, und benennen auch Zahlen über eine Million sicher.
- 3verstehen das Zehnersystem als Stellenwertsystem und beschreiben (z. B. auch in Abgrenzung zum römischen Zahlensystem), was ein Stellenwertsystem ausmacht.
- 4bestimmen die Werte von Summen und Differenzen ganzer Zahlen, veranschaulichen ihre Strategien (z. B. mithilfe von Guthaben und Schulden) und erläutern diese; bei angemessen gewählten Zahlen berechnen sie die Werte von Summen und Differenzen auch im Kopf. Sie unterscheiden dabei klar zwischen Vor- und Rechenzeichen.
- 5lesen natürliche Zahlen am Zahlenstrahl ab und stellen sie unter Wahl einer geeigneten Skalierung am Zahlenstrahl dar.
- 6lösen Gleichungen der Form a + x = b, x − a = b und a − x = b, wie in der Grundschule angebahnt, durch systematisches Probieren oder durch Bildung der jeweiligen Umkehraufgabe.
- 7runden natürliche Zahlen und wenden dies in Sachzusammenhängen sinnvoll an.
- 8erkennen und nutzen Rechenvorteile, die sich durch Anwenden von Kommutativ- und Assoziativgesetz ergeben; sie verwenden dabei auch, dass jede Differenz als Summe aufgefasst werden kann.
- 9erkennen die Struktur von Termen, die durch Addition und Subtraktion ganzer Zahlen sowie durch Klammersetzung entstehen, gliedern solche Terme unter Verwendung der entsprechenden Fachbegriffe und ermitteln deren Wert in fortlaufender, klar strukturierter Rechnung.
- 10verstehen die Notwendigkeit, die Menge der natürlichen Zahlen zur Menge der ganzen Zahlen zu erweitern, und beschreiben Sachsituationen, in denen negative ganze Zahlen von Bedeutung sind.
- 11ordnen ganze Zahlen der Größe nach, stellen sie an einer Zahlengeraden dar und veranschaulichen dort ihre Beträge.
- 12überprüfen Aussagen (z. B.: Von zwei ganzen Zahlen ist diejenige größer, die den größeren Betrag hat.) auf ihre Richtigkeit hin und verwenden Gegenbeispiele, um Aussagen zu widerlegen.
Geometrische Figuren und Lagebeziehungen
5 Kompetenzen
- 1stellen Punkte, Strecken, Geraden und Kreise sorgfältig im kartesischen Koordinatensystem dar. Sie nutzen die Koordinatendarstellung von Punkten sowie die abkürzenden Schreibweisen für Strecken, Geraden und Kreise als Hilfsmittel zur leichteren Kommunikation über geometrische Objekte.
- 2beschreiben die möglichen Lagebeziehungen zwischen Punkt und Gerade, zwischen zwei Geraden, zwischen Kreis und Gerade sowie zwischen zwei Kreisen; dabei verwenden sie die Begriffe Abstand, parallel, senkrecht, Lot und Tangente fachsprachlich korrekt.
- 3kennzeichnen die Lage von Punkten, die bestimmten Bedingungen genügen (insbesondere: Abstand von anderen Punkten oder von Geraden), und verwenden dies, um auch in Sachsituationen eine begründete Entscheidung treffen zu können; sie greifen dabei auch auf ihr Verständnis der grundlegenden Eigenschaft der Kreislinie zurück.
- 4messen und zeichnen mit dem Geodreieck Winkel bis zu einer Größe von 360° und beschreiben diese mit Fachbegriffen.
- 5erkennen und erzeugen (z. B. durch Zeichnen, Einsatz einer dynamischen Geometriesoftware) die Vierecke Quadrat, Rechteck, Parallelogramm, Raute, Drachenviereck und Trapez und ordnen Gegenstände aus ihrem Umfeld diesen mathematischen Grundfiguren zu. Sie beschreiben die charakteristischen Eigenschaften dieser Vierecke (insbesondere bezüglich deren Seiten) und verwenden diese bei Argumentationen, auch im Zusammenhang mit kopfgeometrischen Betrachtungen.
Natürliche und ganze Zahlen – Multiplikation und Division
12 Kompetenzen
- 1multiplizieren und dividieren natürliche Zahlen automatisiert schriftlich, auch wenn Faktoren mehr als zwei Stellen haben bzw. Divisoren größer als zehn sind. Ihre Ergebnisse überprüfen sie durch Abschätzen der Größenordnung kritisch.
- 2erfassen Termstrukturen, die durch die Verbindung der Grundrechenarten bei ganzen Zahlen und durch Klammersetzung entstehen, und gliedern auf dieser Grundlage Terme unter Verwendung der entsprechenden Fachbegriffe.
- 3faktorisieren natürliche Zahlen und ermitteln deren Primfaktorzerlegung, wobei sie sich der Eindeutigkeit dieser Zerlegung bewusst sind; beim Faktorisieren wenden sie auch Regeln für die Teilbarkeit durch 2, 3, 5 und 10 zielgerichtet an und argumentieren mit ihnen.
- 4ermitteln in fortlaufender, klar strukturierter Rechnung die Werte von Termen, die durch die Verbindung der Grundrechenarten bei ganzen Zahlen und durch Klammersetzung entstehen; dabei wenden sie auch Regeln für die Reihenfolge der Rechenschritte (insbesondere „Punkt vor Strich") an.
- 5erkennen, ob in einem realitätsnahen Kontext das Zählprinzip angewendet werden kann, und nutzen dieses sowie Baumdiagramme zur systematischen Bestimmung von Anzahlen.
- 6erkennen und nutzen Rechenvorteile, die sich durch Anwenden von Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz ergeben. Insbesondere stellen sie auf der Grundlage eines gewachsenen Abstraktionsvermögens anhand einfacher Beispiele dar, dass es sich bei einigen aus der Grundschule bekannten Kopfrechenstrategien um Anwendungen des Distributivgesetzes handelt.
- 7setzen bei der Lösung von Problemstellungen zu ganzen Zahlen insbesondere die Strategien Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten bewusst ein und reflektieren diese altersangemessen.
- 8machen die Vorzeichenregeln für die Multiplikation und Division ganzer Zahlen altersgemäß plausibel und berechnen die Werte von Produkten und Quotienten ganzer Zahlen, bei angemessen gewählten Zahlen auch im Kopf.
- 9erkennen und nutzen Rechenvorteile, die sich durch Anwenden von Kommutativ- und Assoziativgesetz ergeben.
- 10lösen anwendungsbezogene Aufgaben unter Verwendung von ganzen Zahlen. Dabei dokumentieren sie den von ihnen gewählten Lösungsweg nachvollziehbar, präsentieren ihn in angemessener Form sowie unter Verwendung von Fachsprache und erläutern ihre Gedankengänge. Ihre Ergebnisse überprüfen sie kritisch im Sachzusammenhang und durch eine Überschlagsrechnung.
- 11berechnen die Werte von Potenzen mit natürlichen Exponenten und ganzzahligen Basen, verwenden Zehnerpotenzen, um große natürliche Zahlen situationsangemessen darzustellen, und nutzen Potenzen auch in Sachzusammenhängen; sie verfügen über ein automatisiertes Wissen der Quadratzahlen bis 400.
- 12lösen Gleichungen der Form a · x = b, x : a = b und a : x = b, wie in der Grundschule angebahnt, durch systematisches Probieren oder durch Bildung der jeweiligen Umkehraufgabe.
Größen und ihre Einheiten
10 Kompetenzen
- 1verstehen das Prinzip des Messens und rechnen Größenangaben bei Geld (€, ct), Länge (km, m, dm, cm, mm), Masse (t, kg, g, mg) und Zeit (h, min, s) jeweils in andere Einheiten um; dabei verwenden sie bei den Größen Geld, Länge und Masse – unter Rückgriff auf Einheitentafeln – auch Angaben in Kommaschreibweise.
- 2nutzen in Erweiterung der in der Grundschule erworbenen Kenntnisse das Prinzip des Messens auch dazu, die Formel zur Bestimmung des Flächeninhalts eines Rechtecks plausibel zu machen.
- 3rechnen sicher mit Größen (addieren, subtrahieren, vervielfachen, dividieren); die zugehörigen Regeln, die sich aus der Zusammensetzung einer Größe aus Maßzahl und Maßeinheit ergeben, erklären sie an Beispielen.
- 4haben eine Vorstellung von der Größe der Einheitsquadrate, die zur Definition der Flächeneinheiten verwendet werden. Sie rechnen Flächeninhalte in verschiedene Einheiten (km², ha, a, m², dm², cm², mm²) um und begründen ihr Vorgehen z. B. anhand des Auslegens mit Einheitsquadraten.
- 5schätzen in Sachsituationen Größen unter Verwendung von Bezugsgrößen aus ihrer Erfahrungswelt ab und nutzen dies bei Sachaufgaben auch zur Kontrolle von Ergebnissen; deren Plausibilität überprüfen sie bei Bedarf auch durch eine gezielte Recherche. Ihre Lösungswege dokumentieren sie nachvollziehbar und präsentieren sie in angemessener Form.
- 6unterscheiden sicher zwischen den Begriffen Umfang und Flächeninhalt und nutzen die Formeln für Umfang bzw. Flächeninhalt von Quadraten und Rechtecken auch bei der Lösung realitätsnaher Problemstellungen; dabei verwenden sie gezielt auch veranschaulichende Skizzen und bestimmen Näherungswerte für Flächeninhalte.
- 7führen Flächeninhaltsbestimmungen durch gezieltes Zerlegen und Ergänzen von Flächen unter Verwendung der Flächeninhaltsformel für Rechtecke durch; bei Aufgaben, die verschiedene Lösungswege zulassen, erläutern und beurteilen sie vergleichend diese Lösungswege.
- 8setzen die in der Grundschule noch intuitiv verwendete Schlussrechnung bewusst zur Lösung von Sachaufgaben ein und stellen die einzelnen Rechenschritte – auch in Form eines Dreisatzes – strukturiert dar.
- 9bestimmen – auch unter Verwendung von Netzen und Schrägbildern – Oberflächeninhalte von Quadern und einfachen zusammengesetzten Körpern. Sie lösen geeignete ebene und räumliche Problemstellungen im Kopf.
- 10lösen insbesondere zum Maßstab realitätsnahe Sachaufgaben und verwenden dabei geeignete Einheiten.
Jahrgangsstufe 6
Rationale Zahlen
19 Kompetenzen
- 1deuten Aussagen, in denen Anteile vorkommen, richtig und veranschaulichen Anteile auf unterschiedliche Weise, insbesondere mit Flächendiagrammen (Kreis- und Rechteckdiagramme). Sie bestimmen Anteile, Bruchteile sowie das jeweils zugehörige Ganze.
- 2verstehen, wie mithilfe von Zehnteln, Hundertsteln etc. die Stellenwerttafel erweitert wird, und interpretieren die bislang nur bei Größen verwendete Kommaschreibweise neu. Sie runden Dezimalbrüche in Analogie zu den ganzen Zahlen.
- 3machen die Rechenregeln zur Addition und Subtraktion von Brüchen anhand von Beispielen plausibel.
- 4berechnen auf der Grundlage tragfähiger inhaltlicher Vorstellungen zu den Operationen die Werte von Produkten und Quotienten rationaler Zahlen in verschiedenen Darstellungsformen, bei angemessen gewählten Zahlen auch im Kopf.
- 5erkennen die Struktur von Termen, die durch die Verbindung der Grundrechenarten und durch Klammersetzung entstehen, beschreiben diese unter Verwendung der entsprechenden Fachbegriffe und berechnen den Wert solcher Terme in fortlaufender, klar strukturierter Rechnung.
- 6erläutern anhand von Beispielen, dass Erweitern und Kürzen den Wert eines Bruchs nicht verändern. Sie wählen beim Größenvergleich von Brüchen geeignete Strategien; bei Verwendung des Hauptnenners ermitteln sie diesen auch mithilfe eines algorithmischen Verfahrens.
- 7interpretieren Brüche je nach Situation mithilfe verschiedener Grundvorstellungen (Teil eines Ganzen, Teil mehrerer Ganzer, Zahl, Quotient) und verstehen, dass man Brüche entweder als endliche oder periodische Dezimalbrüche schreiben kann; sie entscheiden anhand der Primfaktorzerlegung des Nenners des vollständig gekürzten Bruchs, ob sich dieser als endlicher Dezimalbruch darstellen lässt.
- 8addieren und subtrahieren Brüche, gemischte Zahlen und Dezimalbrüche, bei angemessen gewählten Zahlen auch im Kopf.
- 9berechnen die Werte von Potenzen mit natürlichen Exponenten und rationalen Basen; sie deuten Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten als Schreibweise für Brüche mit Zähler 1, wenden dies in Rechnungen an und interpretieren Darstellungen von Alltagsgrößen, die Zehnerpotenzen mit negativen Exponenten enthalten.
- 10berechnen auf der Grundlage eines gewachsenen Verständnisses von Zahlen und Termstrukturen die Werte überschaubarer Terme mit einfachen rationalen Zahlen im Kopf.
- 11erkennen und nutzen Rechenvorteile, die sich durch Anwendung von Kommutativ- und Assoziativgesetz bzw. dadurch ergeben, dass man die hinsichtlich des Rechenaufwands jeweils günstigste Darstellungsform rationaler Zahlen für die Berechnung auswählt.
- 12wandeln Brüche in Dezimalbrüche um und stellen umgekehrt endliche Dezimalbrüche sowie rein periodische Dezimalbrüche der Periodenlänge eins als Brüche dar; bei angemessen gewählten Zahlen führen sie den Darstellungswechsel auch im Kopf durch.
- 13wissen, dass Prozentangaben eine im Alltag häufig verwendete alternative Schreibweise für Brüche sind, und bearbeiten damit einfache alltagsbezogene Fragestellungen.
- 14nutzen gezielt Rechenvorteile, die sich z. B. durch Anwendung von Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz ergeben.
- 15erkennen und nutzen Rechenvorteile, die sich durch Anwendung von Kommutativ- und Assoziativgesetz bzw. dadurch ergeben, dass man die hinsichtlich des Rechenaufwands jeweils günstigste Darstellungsform rationaler Zahlen für die Berechnung auswählt.
- 16lösen Problemstellungen in Sachzusammenhängen, bei denen unterschiedliche Rechenarten oder auch Anteile von Anteilen vorkommen. Dabei verwenden sie auch geeignete Skizzen und sind sich deren Bedeutung für das Problemlösen bewusst. Sie recherchieren ggf. zusätzlich benötigte Informationen sorgfältig und überprüfen ihre Lösungen kritisch im Sachzusammenhang oder mithilfe einer Überschlagsrechnung.
- 17ermitteln auf der Grundlage eines soliden Verständnisses von Termstrukturen die Werte von Termen, die durch Addition und Subtraktion rationaler Zahlen sowie durch Klammersetzung entstehen, in fortlaufender und klar strukturierter Rechnung.
- 18interpretieren Brüche als Darstellungen von Zahlen. Sie beschreiben die Zusammenhänge zwischen den natürlichen, den ganzen und den rationalen Zahlen und erläutern wesentliche Unterschiede zwischen den entsprechenden Zahlenmengen. Sie stellen positive und negative Bruchzahlen an der Zahlengeraden dar und ordnen diese begründet der Größe nach.
- 19überprüfen bei Rechnungen in inner- und außermathematischen Zusammenhängen durch eine Überschlagsrechnung, ob ihr Ergebnis die richtige Größenordnung hat.
Flächeninhalt und Volumen
9 Kompetenzen
- 1erklären anhand von Beispielen, wie man, ausgehend von der Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Rechtecks, unter Verwendung des Prinzips des Zerlegens und Ergänzens von Flächen die Formeln zur Berechnung der Flächeninhalte von Parallelogrammen, Dreiecken bzw. Trapezen herleiten kann.
- 2nutzen in Erweiterung der in der Grundschule erworbenen Kenntnisse zu Hohlmaßen das Prinzip des Messens auch dazu, die Formel zur Bestimmung des Volumens eines Quaders plausibel zu machen.
- 3wenden die Formeln zur Berechnung der Flächeninhalte von Parallelogrammen, Dreiecken bzw. Trapezen flexibel an und identifizieren die für die Berechnung relevanten Strecken situationsgerecht. Sie bestimmen Näherungswerte für Flächeninhalte in Sachsituationen.
- 4haben eine räumliche Vorstellung von der Größe der Einheitswürfel, die zur Definition der Volumeneinheiten verwendet werden; sie rechnen verschiedene Volumeneinheiten, auch Liter und Milliliter, ineinander um und begründen ihr Vorgehen.
- 5wenden die Formel zur Bestimmung des Volumens eines Quaders flexibel an.
- 6setzen die Formeln zur Berechnung der Flächeninhalte von Dreiecken bzw. Parallelogrammen für Argumentationen beim Vergleich der Flächeninhalte von Figuren ein und verwenden dazu geeignete Lösungsstrategien.
- 7ermitteln für Körper aus ihrer Erfahrungswelt einen sinnvollen Näherungswert für das Volumen und erläutern ihr Vorgehen.
- 8berechnen mithilfe der bislang bekannten Flächeninhaltsformeln planvoll Oberflächeninhalte einfacher Körper; sie dokumentieren und präsentieren ihre Lösungswege strukturiert und nachvollziehbar.
- 9führen in unterschiedlichen Kontexten Volumenbestimmungen durch gezieltes Zerlegen und Ergänzen von Körpern unter Verwendung der Formel zur Bestimmung des Volumens eines Quaders durch und lösen geometrische Problemstellungen angemessener Komplexität auch im Kopf.
Prozentrechnung, Daten und Diagramme
5 Kompetenzen
- 1lösen einfache Prozentaufgaben aus dem Alltag (u. a. zu Rabatt und Zins) mithilfe geeigneter Verfahren (insbesondere Grundgleichung der Prozentrechnung, Schlussrechnung).
- 2entnehmen einfachen Texten, die Prozentangaben enthalten, die wesentlichen mathematischen Informationen und prüfen diese auf Korrektheit; dabei gehen sie flexibel mit in den Medien häufig verwendeten alternativen Darstellungen von Prozentangaben um.
- 3bestimmen zu Daten aus statistischen Erhebungen absolute und relative Häufigkeiten und verwenden für letztgenannte flexibel deren unterschiedliche Darstellungen. Sie stellen so aufbereitete Daten u. a. mithilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms graphisch strukturiert dar und diskutieren Vor- und Nachteile unterschiedlicher Darstellungen.
- 4formulieren bezüglich der Darstellung von Sachverhalten in Diagrammen sinnvolle Fragen sowie begründete Aussagen; sie erkennen manipulative Aspekte solcher Darstellungen und diskutieren diese altersangemessen.
- 5verwenden im Rahmen der Interpretation von Daten das arithmetische Mittel; in Fällen, in denen Rohdaten vorliegen, bestimmen sie dieses auch mit einem Tabellenkalkulationsprogramm.
Jahrgangsstufe 7
Terme mit Variablen
9 Kompetenzen
- 1verstehen Variablen als wichtiges Hilfsmittel, um mathematische Zusammenhänge kurz und prägnant zu formulieren. Sie strukturieren und abstrahieren unterschiedlich dargestellte inner- und außermathematische Zusammenhänge mithilfe von Termen mit einer oder mehreren Variablen und interpretieren vorgegebene Terme in derartigen Zusammenhängen.
- 2fassen Produkte von Potenzen mit natürlichen Exponenten (bei gleicher Basis oder bei gleichem Exponenten) und Potenzen von Potenzen mit jeweils natürlichem Exponenten zu einer Potenz zusammen.
- 3berechnen Werte von Termen, die auch Potenzen mit ganzzahligen Exponenten enthalten; dabei greifen sie auf die aus den vorhergehenden Jahrgangsstufen bekannten Rechenregeln für rationale Zahlen zurück und nutzen Wertetabellen zur Strukturierung und Veranschaulichung.
- 4erfassen die Struktur von Termen angemessener Komplexität und formen diese in fortlaufender, klar strukturierter Rechnung zielgerichtet um (Zusammenfassen von Summen und von Produkten, Ausmultiplizieren, Multiplizieren von Summen), um insbesondere Terme zu vereinfachen und die Äquivalenz von Termen zu begründen.
- 5nutzen zur Berechnung von Termwerten ein Tabellenkalkulationsprogramm und wägen ab, wann der Einsatz eines solchen Programms dafür sinnvoll ist.
- 6nutzen das Distributivgesetz in einfachen Fällen auch zum Faktorisieren von Summen und sind sich bewusst, dass durch Ausklammern eines gemeinsamen Faktors aus einer Summe ein Produkt entsteht.
- 7begründen die Gültigkeit der binomischen Formeln und wenden diese Formeln bei Termumformungen an, bei denen sich das Multiplizieren von Summen damit abkürzen lässt.
- 8analysieren die Struktur von Termen, die Variablen enthalten, und beschreiben diese Struktur mithilfe von Fachbegriffen.
- 9argumentieren auch in Sachzusammenhängen, indem sie geeignete Terme interpretieren, z. B. bezüglich der Änderung des Flächeninhalts eines Rechtecks bei Verdopplung der Seitenlängen.
Geometrische Figuren: Symmetrie und Winkel
7 Kompetenzen
- 1konstruieren achsen- und punktsymmetrische Figuren mit Zirkel und Lineal. Sie verwenden die Eigenschaften zueinander symmetrischer Punkte, um die grundlegenden Konstruktionen von Symmetrieachse, Symmetriezentrum und Spiegelpunkt zu begründen.
- 2beschreiben Winkelzusammenhänge an Geradenkreuzungen und Doppelkreuzungen unter Verwendung der Begriffe Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Stufenwinkel und Wechselwinkel.
- 3konstruieren Mittelsenkrechte, Lote und Winkelhalbierende und beschreiben ihr Vorgehen. Zur Lösung realitätsnaher Problemstellungen übersetzen sie die Situationen geeignet in geometrische Modelle.
- 4beweisen, ausgehend davon, dass Wechselwinkel an parallelen Geraden gleich groß sind, dass die Innenwinkelsumme im Dreieck 180° beträgt, und stellen die dafür notwendige mehrschrittige Argumentation klar dar.
- 5ordnen auf der Grundlage eines gewachsenen inhaltlichen Begriffsverständnisses die Menge aller symmetrischen Vierecke anhand ihrer Symmetrieeigenschaften; sie verwenden diese Symmetrieeigenschaften sowie weitere Eigenschaften von Vierecken, um insbesondere zu begründen, welche Arten von Vierecken Spezialfälle anderer sind.
- 6erklären, wie von der Innenwinkelsumme im Dreieck auf die Innenwinkelsumme im Vieleck geschlossen werden kann.
- 7bestimmen bei Figuren mit mehrfachen Geradenkreuzungen aus gegebenen Winkelgrößen Größen anderer in der Figur auftretender Winkel, überprüfen anhand von Winkelgrößen die Parallelität von Geraden und begründen ihre Lösungsschritte.
Lineare Gleichungen und Vertiefung der Prozentrechnung
4 Kompetenzen
- 1stellen zu inner- und außermathematischen Fragestellungen passende Gleichungen auf und beschreiben die dazu erforderlichen Gedankengänge.
- 2lösen lineare Gleichungen durch gezielte Äquivalenzumformungen, erläutern, warum bei den einzelnen Umformungen die Lösungsmenge erhalten bleibt, stellen ihre Lösungsschritte auch formal korrekt dar und überprüfen ihre Lösungen.
- 3interpretieren und reflektieren die Lösungen von Gleichungen in Sachzusammenhängen.
- 4lösen in Erweiterung ihrer in der Jahrgangsstufe 6 erworbenen Kenntnisse komplexere Aufgabenstellungen zur Prozentrechnung. Dabei unterscheiden sie bei Aussagen, die Sachverhalte bewerten, mathematische von außerfachlichen Aspekten und prüfen insbesondere mathematische Argumente auf Korrektheit.
Kenngrößen von Daten
3 Kompetenzen
- 1verwenden für die Beschreibung und Interpretation von Daten neben dem arithmetischen Mittel den Median als weiteren Mittelwert und vergleichen in Sachzusammenhängen kritisch die Aussagekraft dieser beiden Mittelwerte.
- 2bestimmen Spannweite und Quartile als weitere Kenngrößen der beschreibenden Statistik, erstellen Boxplots und veranschaulichen damit wichtige Merkmale eines Datensatzes. Dazu verwenden sie auch geeignete Software.
- 3gewinnen aus den ihnen bekannten Kenngrößen sowie aus Boxplots Informationen über den jeweils zugrunde liegenden Datensatz; sie formulieren und beurteilen auf dieser Grundlage auch vergleichende Aussagen über Datensätze.
Kongruenz, besondere Dreiecke und Dreieckskonstruktionen
9 Kompetenzen
- 1erläutern anschaulich den Begriff der Kongruenz.
- 2erkennen unter Nutzung der Kongruenzsätze, ob sich ein Dreieck aus angegebenen Seitenlängen und Winkelgrößen eindeutig konstruieren lässt, und führen ggf. die Konstruktion durch.
- 3verwenden die Eigenschaften von gleichschenkligen und gleichseitigen Dreiecken, um diese zu konstruieren, und beschreiben ihren jeweiligen Gedankengang.
- 4unterscheiden klar zwischen Voraussetzung und Behauptung eines mathematischen Satzes und formulieren damit dessen Kehrsatz. Anhand von Beispielen erläutern sie, dass aus einer wahren Implikation im Allgemeinen nicht darauf geschlossen werden kann, dass auch deren Umkehrung wahr ist.
- 5nutzen eine dynamische Geometriesoftware als interaktives Werkzeug, um mathematische Zusammenhänge zu veranschaulichen bzw. experimentell zu untersuchen und zu erschließen sowie Vermutungen zu entwickeln.
- 6verwenden ihre Kenntnisse über Winkelzusammenhänge, um den Satz des Thales sowie seine Umkehrung zu beweisen, und wenden den Satz sowie seine Umkehrung im Zusammenhang mit rechtwinkligen Dreiecken an.
- 7begründen ihr Vorgehen bei der Konstruktion der Tangente an einen Kreis, die durch einen gegebenen Punkt außerhalb des Kreises verläuft.
- 8konstruieren Dreiecke aus verschiedenen Bestimmungsstücken (darunter insbesondere Höhen) und nutzen zur Ideenfindung Planfiguren. Sie dokumentieren und präsentieren ihre Lösungsschritte übersichtlich und nachvollziehbar.
- 9lösen anwendungsbezogene Aufgaben mithilfe von Konstruktionen, indem sie, v. a. mithilfe von Dreiecken, eine geeignete Modellierung durchführen.
Jahrgangsstufe 8
Funktion und Term
3 Kompetenzen
- 1erfassen und beschreiben funktionale Zusammenhänge mit Tabellen, Diagrammen und, wo möglich, mit Termen, auch unter Verwendung eines Tabellenkalkulationsprogramms.
- 2verstehen eine Funktion als eindeutige Zuordnung und grenzen die zugehörigen Fachbegriffe (z. B. Funktionsterm, Graph, Definitionsmenge, Wertemenge) voneinander ab. Sie erkennen Funktionen als solche und unterscheiden diese begründet von nicht eindeutigen Zuordnungen.
- 3bestimmen die Koordinaten der Schnittpunkte eines Funktionsgraphen mit den Koordinatenachsen und die Lage von Punkten bezüglich des Funktionsgraphen graphisch und, falls möglich, rechnerisch. In einfachen Fällen beschreiben sie, in welcher Weise sich der Funktionswert verändert, wenn sich der Wert des Funktionsarguments verändert.
Lineare Funktionen
5 Kompetenzen
- 1interpretieren Funktionsgleichungen der Form y = m · x + t als Gleichungen von Geraden und erläutern die Bedeutung der Parameter m und t. Sie zeichnen die Graphen linearer Funktionen und ermitteln umgekehrt anhand der Graphen solcher Funktionen die zugehörigen Werte der Parameter.
- 2stellen rechnerisch Geradengleichungen auf, bestimmen die Nullstellen linearer Funktionen und ermitteln die Koordinaten des Schnittpunkts zweier Geraden.
- 3nutzen lineare Funktionen und deren Graphen in Sachzusammenhängen; insbesondere stellen sie passende Funktionen auf und interpretieren Graphen sachgerecht.
- 4lösen lineare Ungleichungen graphisch und rechnerisch und stellen das Ergebnis in Intervallschreibweise dar.
- 5verstehen, dass der Spezialfall einer linearen Funktion mit einer Funktionsgleichung der Form y = a · x als Zuordnung zweier Größen aufgefasst werden kann, die direkt proportional zueinander sind. Diesen Zusammenhang erläutern sie an der zugehörigen Ursprungsgeraden.
Elementare gebrochen-rationale Funktionen
3 Kompetenzen
- 1geben für gebrochen-rationale Funktionen die maximale Definitionsmenge an, bestimmen die Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen und beschreiben den Einfluss einer Änderung der Werte der Parameter auf den Verlauf des Graphen.
- 2zeichnen den Graphen einer gebrochen-rationalen Funktion einschließlich seiner Asymptoten und ermitteln umgekehrt anhand des Graphen einer solchen Funktion die zugehörigen Werte der Parameter.
- 3verstehen, dass der Spezialfall einer gebrochen-rationalen Funktion als Zuordnung zweier Größen aufgefasst werden kann, die indirekt proportional zueinander sind. Diesen Zusammenhang erläutern sie am zugehörigen Graphen.
Bruchterme und Bruchgleichungen
5 Kompetenzen
- 1erfassen die Struktur von Bruchtermen angemessener Komplexität und erweitern und kürzen diese, auch unter Anwendung des Distributivgesetzes.
- 2bringen Bruchterme angemessener Komplexität auf einen gemeinsamen Nenner, um diese zu addieren und zu subtrahieren. Sie multiplizieren und dividieren Bruchterme angemessener Komplexität.
- 3machen die Rechengesetze für Potenzen mit ganzzahligen Exponenten plausibel und wenden diese in einfachen Fällen an.
- 4lösen auf der Grundlage eines zunehmend abstrahierenden Verständnisses von Termstrukturen Bruchgleichungen angemessener Komplexität rechnerisch und interpretieren in einfachen Fällen Bruchgleichungen als Schnittprobleme von Funktionsgraphen.
- 5lösen Formeln – insbesondere aus den Naturwissenschaften – nach einer Variablen auf.
Laplace-Experimente
4 Kompetenzen
- 1grenzen Zufallsexperimente von deterministischen Vorgängen ab und beschreiben Zufallsexperimente unter Verwendung von Fachbegriffen wie Ergebnis, Ergebnismenge, Ereignis und Gegenereignis.
- 2bestimmen relative Häufigkeiten von Ereignissen auch selbst durchgeführter Zufallsexperimente. Zur Auswertung und Simulation von Zufallsexperimenten verwenden sie ein Tabellenkalkulationsprogramm. Sie erläutern die Aussage des empirischen Gesetzes der großen Zahlen anhand konkreter Beispiele.
- 3grenzen anhand von Beispielen Laplace-Experimente von Zufallsexperimenten ab, die sich nicht mithilfe der Annahme der Gleichwahrscheinlichkeit aller Elementarereignisse tragfähig modellieren lassen.
- 4berechnen Laplace-Wahrscheinlichkeiten und nutzen dabei auch das Zählprinzip und Baumdiagramme.
Lineare Gleichungssysteme
3 Kompetenzen
- 1beschreiben Sachzusammenhänge mithilfe eines Systems linearer Gleichungen und erläutern ihre Vorgehensweise.
- 2lösen lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten graphisch und rechnerisch; sie sind sich des algorithmischen Charakters des rechnerischen Verfahrens bewusst und begründen, dass bei den einzelnen Umformungen die Lösungsmenge des Gleichungssystems erhalten bleibt.
- 3formulieren und veranschaulichen Aussagen zur Lösbarkeit und zur Lösungsvielfalt linearer Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten.
Kreis und Zylinder
4 Kompetenzen
- 1machen die Struktur der Formeln für Umfang bzw. Flächeninhalt eines Kreises plausibel und bestimmen einen Näherungswert für die Kreiszahl π. Sie interpretieren die Flächeninhaltsformel als nicht lineare Zuordnung und wenden die Formeln bei innermathematischen Fragestellungen sowie in Sachsituationen an.
- 2skizzieren Schrägbilder von geraden Prismen und geraden Kreiszylindern. Sie beschreiben diese Körper sowie ihre Grund- und Mantelflächen mit Fachbegriffen und zeichnen zugehörige Netze.
- 3begründen, dass die Volumina gerader Prismen unabhängig von der Form ihrer Grundfläche gleich dem Produkt aus Grundflächeninhalt und Höhe sind, und machen die Formel zur Bestimmung des Volumens eines geraden Kreiszylinders plausibel.
- 4nutzen auch in Sachzusammenhängen flexibel die bisher bekannten Volumen- und Oberflächeninhaltsformeln von Körpern. Sie dokumentieren und präsentieren ihre Lösungswege in jeweils angemessener Form, fachsprachlich korrekt sowie unter Verwendung geeigneter Skizzen.
Jahrgangsstufe 9
Quadratwurzeln
5 Kompetenzen
- 1erläutern die Definition der Quadratwurzel anhand von Beispielen und bestimmen bei angemessen gewählten Zahlen den Wert einer Quadratwurzel auch im Kopf. Sie vereinfachen einfache vollständig radizierbare Terme, falls nötig unter Verwendung von Beträgen.
- 2verstehen das Grundprinzip eines indirekten Beweises, vollziehen damit den Beweis für die Irrationalität von √2 nach und erläutern diesen. Sie begründen die Notwendigkeit, die Menge der rationalen Zahlen zu erweitern.
- 3erläutern das Heron-Verfahren und bestimmen mithilfe dieses Algorithmus Näherungswerte für Quadratwurzeln, indem sie ihn in ein Tabellenkalkulationsprogramm implementieren.
- 4fassen in fortlaufender, klar strukturierter Rechnung bei Termen angemessener Komplexität Produkte, Quotienten, Summen und Differenzen von Quadratwurzeln zusammen und vereinfachen dabei auch Potenzen von Wurzeltermen.
- 5formen Wurzelterme ohne Variablen so um, dass Nenner rational sind, und radizieren teilweise. Wurzelterme mit Variablen vereinfachen sie durch teilweises Radizieren und stellen das Ergebnis, falls nötig, mithilfe von Beträgen dar.
Quadratische Funktionen
8 Kompetenzen
- 1stellen lineare Gleichungssysteme mit drei Unbekannten auf, lösen diese systematisch und erläutern den algorithmischen Charakter des angewandten Verfahrens.
- 2beschreiben für quadratische Funktionen, wie sich Änderungen der Werte der Parameter auf die zugehörige Parabel auswirken; sie bestimmen jeweils die Anzahl der Nullstellen und die Lösungen der zugehörigen Gleichung.
- 3ermitteln durch flexible Nutzung der binomischen Formeln die Koordinaten des Scheitels einer Parabel aus dem zugehörigen Funktionsterm und zeichnen den zugehörigen Graphen.
- 4lösen Bruchgleichungen, die sich unmittelbar auf quadratische Gleichungen zurückführen lassen, und berechnen damit auch die Koordinaten der Schnittpunkte von Geraden mit Hyperbeln.
- 5geben mithilfe des zugehörigen Graphen wesentliche Eigenschaften einer quadratischen Funktion an (Wertemenge, Nullstellen, Intervalle mit positiven bzw. negativen Funktionswerten, Monotonieverhalten).
- 6beschreiben und lösen innermathematische sowie realitätsnahe Problemstellungen mithilfe quadratischer Funktionen (u. a. Modellierung von Extremwertproblemen); sie erläutern und reflektieren ihre dabei verwendeten Strategien.
- 7erkennen bei der rechnerischen Lösung von quadratischen Gleichungen, wann der Einsatz der Lösungsformel erforderlich ist und wann eine andere Methode vorteilhaft ist. Sie lösen damit quadratische Gleichungen reflektiert.
- 8sind sich bewusst, dass jede der drei Darstellungsformen des Terms einer quadratischen Funktion (allgemeine Form, Scheitelpunktform, Nullstellenform) Vorteile besitzt, und nutzen diese Formen situationsgerecht.
Wahrscheinlichkeit verknüpfter Ereignisse
2 Kompetenzen
- 1stellen zwei miteinander verknüpfte Ereignisse mithilfe von Schnitt- oder Vereinigungsmengen dar und nutzen Mengendiagramme sowie Vierfeldertafeln zur Veranschaulichung.
- 2interpretieren, ausgehend von Vierfeldertafeln mit absoluten Häufigkeiten, die zugehörigen relativen Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen eines entsprechenden Zufallsexperiments und bestimmen Wahrscheinlichkeiten im Kontext zweier miteinander verknüpfter Ereignisse.
Ähnlichkeit und Strahlensatz
3 Kompetenzen
- 1erläutern den Begriff der Ähnlichkeit anschaulich und überprüfen, ob zwei Figuren, insbesondere Dreiecke, zueinander ähnlich sind.
- 2wenden die Strahlensätze bei innermathematischen Problemstellungen sowie in Sachsituationen flexibel an und lösen sich dabei ergebende Bruchgleichungen.
- 3machen an Beispielen die Gesetzmäßigkeiten plausibel, die die Veränderung des Flächeninhalts einer Figur bzw. die Veränderung des Volumens eines Körpers beschreiben, wenn die Figur bzw. der Körper maßstäblich vergrößert oder verkleinert wird.
Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten und Erweiterung des Potenzbegriffs
4 Kompetenzen
- 1beschreiben für Potenzfunktionen in Abhängigkeit von a und n den Verlauf des zugehörigen Graphen sowie seine Symmetrie.
- 2verstehen die Definition der allgemeinen Wurzel und sind in der Lage, damit Gleichungen zu lösen, die sich auf die Form x^n = c zurückführen lassen.
- 3erläutern, dass Potenzen mit rationalen Exponenten eine alternative Schreibweise für Wurzeln sind, und wandeln Potenz- und Wurzelschreibweise ineinander um.
- 4fassen unter Anwendung der Rechengesetze für Potenzen mit rationalen Exponenten Produkte und Quotienten zusammen, die Potenzen und Wurzeln enthalten.
Satz des Pythagoras
3 Kompetenzen
- 1beweisen den Satz des Pythagoras auf der Grundlage eines gefestigten Verständnisses der Struktur mathematischer Sätze und unterscheiden diesen von seiner Umkehrung.
- 2führen an rechtwinkligen Dreiecken unter flexibler Anwendung des Satzes des Pythagoras Berechnungen durch.
- 3lösen vielfältige Aufgaben mithilfe des Satzes des Pythagoras und seiner Umkehrung. Ihre Lösungswege erläutern sie anhand aussagekräftiger Skizzen.
Trigonometrie
6 Kompetenzen
- 1veranschaulichen Sinus- und Kosinuswerte von Winkelgrößen zwischen 0° und 360° am Einheitskreis und ermitteln insbesondere das zugehörige Vorzeichen sicher.
- 2erfassen, dass bei einem rechtwinkligen Dreieck jedes Verhältnis zweier Seitenlängen bereits die Größen aller Innenwinkel festlegt.
- 3identifizieren die Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck als Sinus, Kosinus bzw. Tangens und führen durch flexible Verwendung dieser Beziehungen Berechnungen an rechtwinkligen Dreiecken durch.
- 4vollziehen den Beweis des Sinussatzes nach und interpretieren den Satz des Pythagoras als Spezialfall des Kosinussatzes. Sie lösen mithilfe von Sinus- und Kosinussatz nun auch rechnerisch Anwendungsaufgaben, die bisher nur konstruktiv lösbar waren.
- 5begründen die Zusammenhänge (sin α)² + (cos α)² = 1, cos α = sin(90° − α) und sin α = cos(90° − α).
- 6lösen – ggf. unter Verwendung von Problemlösestrategien – nun auch rechnerisch Anwendungsaufgaben, die bisher nur konstruktiv lösbar waren.
Jahrgangsstufe 10
Exponentielles Wachstum und Logarithmus
5 Kompetenzen
- 1beschreiben und veranschaulichen die Charakteristika von exponentieller Zunahme und exponentieller Abnahme. Sie grenzen exponentielles Wachstum begründet von linearem Wachstum ab.
- 2beschreiben für Exponentialfunktionen in Abhängigkeit von a und b den Verlauf des zugehörigen Graphen und dessen typische Merkmale (Schnittpunkt mit der y-Achse, asymptotisches Verhalten, Monotonieverhalten) und argumentieren damit.
- 3erläutern die Definition des Logarithmus und ermitteln Werte von Logarithmen in einfachen Fällen mithilfe der Definition, andernfalls mit dem Taschenrechner.
- 4lösen einfache Exponentialgleichungen und wenden dabei auch die Regel log_b(u^z) = z · log_b(u) an.
- 5lösen realitätsnahe Aufgabenstellungen im Zusammenhang mit Wachstums- und Abklingvorgängen graphisch und rechnerisch. Dabei erstellen sie ein für die Realsituation geeignetes Modell und hinterfragen ihre Ergebnisse kritisch.
Zusammengesetzte Zufallsexperimente und stochastische Simulationen
4 Kompetenzen
- 1strukturieren zusammengesetzte Zufallsexperimente mit Baumdiagrammen, auch unter Zurückführung auf Urnenexperimente.
- 2machen anhand von Beispielen die Pfadregeln plausibel und berechnen mithilfe dieser Regeln Wahrscheinlichkeiten.
- 3simulieren Zufallsexperimente und bestimmen so Näherungswerte für Wahrscheinlichkeiten, die sie noch nicht berechnen können, bzw. überprüfen berechnete Wahrscheinlichkeiten auf Plausibilität.
- 4bestimmen mithilfe der Monte-Carlo-Methode unter Einsatz eines Tabellenkalkulationsprogramms einen Näherungswert für die Kreiszahl π.
Sinus- und Kosinusfunktion
7 Kompetenzen
- 1verstehen das Bogenmaß als alternative Möglichkeit, Winkelgrößen zu beschreiben, und wechseln sicher zwischen Bogen- und Gradmaß.
- 2veranschaulichen Sinus- und Kosinuswerte von Winkelgrößen zwischen 0 und 2π am Einheitskreis und ermitteln insbesondere das zugehörige Vorzeichen sicher.
- 3erläutern, wie sich die Werte von Sinus und Kosinus für Winkelgrößen größer als 2π sowie für negative Winkelgrößen mithilfe des Einheitskreises auf Werte für Winkelgrößen zwischen 0 und 2π zurückführen lassen.
- 4leiten mithilfe des Einheitskreises den Verlauf der Graphen der Sinus- und der Kosinusfunktion ab und begründen insbesondere deren Periodizität sowie den Zusammenhang zwischen den beiden Funktionen.
- 5beschreiben für Funktionen mit Termen der Form a · sin(b · (x + c)) + d, wie sich Änderungen der Parameter auf den Funktionsgraphen auswirken.
- 6zeichnen für einen gegebenen Funktionsterm unter Verwendung geeigneter Merkmale (insbesondere Amplitude und Periode) den zugehörigen Funktionsgraphen und ermitteln umgekehrt aus dem Graphen den zugehörigen Funktionsterm.
- 7lösen realitätsbezogene Problemstellungen zu periodischen Vorgängen graphisch und rechnerisch, indem sie geeignete Modellierungen durchführen.
Ganzrationale Funktionen
3 Kompetenzen
- 1verstehen ganzrationale Funktionen als Summe von Potenzfunktionen und begründen anhand des Funktionsterms das Verhalten einer ganzrationalen Funktion an den Rändern des Definitionsbereichs. Sie bestimmen Nullstellen und deren Vielfachheit und erstellen mit deren Hilfe eine Skizze des Graphen.
- 2ziehen aus dem Graphen einer ganzrationalen Funktion, soweit möglich, Rückschlüsse auf den Grad der Funktion oder auch auf den zugehörigen Funktionsterm.
- 3überprüfen rechnerisch sowie durch Analyse der Struktur des Funktionsterms, ob der Graph einer ganzrationalen Funktion Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse bzw. Punktsymmetrie bezüglich des Koordinatenursprungs aufweist.
Fortführung der Raumgeometrie
6 Kompetenzen
- 1skizzieren Schrägbilder von Pyramiden und Kegeln, zeichnen zugehörige Netze und beschreiben diese Körper sowie ihre Grund- und Mantelflächen mit Fachbegriffen.
- 2erläutern, inwiefern man gerade Kreiszylinder, gerade Kreiskegel und Kugeln als Rotationskörper interpretieren kann.
- 3begründen die Formel zur Bestimmung des Oberflächeninhalts eines geraden Kreiskegels.
- 4machen die Formel zur Bestimmung des Volumens einer Pyramide und eines Kreiskegels plausibel, auch mithilfe des Prinzips von Cavalieri.
- 5machen die Struktur der Formeln zur Bestimmung des Volumens bzw. des Oberflächeninhalts einer Kugel plausibel.
- 6nutzen auch in Sachzusammenhängen zur Bestimmung von Volumina, Oberflächeninhalten, Längen und Winkelgrößen flexibel die bisher bekannten Formeln sowie geometrische Kenntnisse aus anderen Lernbereichen. Sie dokumentieren ihre Lösungswege nachvollziehbar.
Jahrgangsstufe 11
Spezielle Eigenschaften von Funktionen
5 Kompetenzen
- 1geben für alle bisher bekannten Funktionstypen charakteristische Beispiele an. Sie bringen durch geeignete Skizzen der zugehörigen Graphen wesentliche Eigenschaften der jeweiligen Funktion deutlich zum Ausdruck und beschreiben diese.
- 2erläutern anhand des Graphen sowie anhand des Funktionsterms das Grenzverhalten von Funktionen für x → +∞ und für x → −∞; sie unterscheiden Konvergenz und Divergenz.
- 3überprüfen rechnerisch, ob die Graphen von Funktionen achsensymmetrisch bezüglich der y-Achse bzw. punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs sind.
- 4beschreiben, welche Änderungen an einem Funktionsterm dazu führen, dass der zum geänderten Funktionsterm gehörige Graph gegenüber dem ursprünglichen Graphen in x- oder y-Richtung verschoben, in x- oder y-Richtung gestreckt bzw. an einer Koordinatenachse gespiegelt ist.
- 5unterscheiden auf der Grundlage einer anschaulichen Vorstellung von Stetigkeit anhand von Beispielen für abschnittsweise definierte Funktionen Graphen stetiger Funktionen von Graphen nicht stetiger Funktionen.
Gebrochen-rationale Funktionen – Grenzwerte und Asymptoten
5 Kompetenzen
- 1ermitteln die maximal mögliche Definitionsmenge sowie ggf. die Nullstellen einer einfachen gebrochen-rationalen Funktion. Sie geben ggf. das Zähler- bzw. Nennerpolynom als Produkt von Linearfaktoren an.
- 2ermitteln anhand des Funktionsterms das Grenzverhalten einer einfachen gebrochen-rationalen Funktion für x → ±∞ und geben ggf. die Gleichung der waagrechten oder schrägen Asymptote an.
- 3ermitteln mithilfe des Funktionsterms das links- und rechtsseitige Grenzverhalten einer einfachen gebrochen-rationalen Funktion an Polstellen und geben die Gleichung der zugehörigen senkrechten Asymptote an.
- 4analysieren einfache gebrochen-rationale Funktionen hinsichtlich ihrer wesentlichen Eigenschaften, schließen damit auf den Verlauf des jeweiligen Graphen und zeichnen diesen.
- 5ermitteln die Koordinaten von Schnittpunkten der Graphen zweier einfacher gebrochen-rationaler Funktionen bzw. des Graphen einer einfachen gebrochen-rationalen Funktion mit dem Graphen einer linearen Funktion rechnerisch.
Bedingte Wahrscheinlichkeit und stochastische Unabhängigkeit
4 Kompetenzen
- 1erkennen bedingte Wahrscheinlichkeiten als solche und bestimmen bedingte Wahrscheinlichkeiten auch unter flexibler Verwendung von Baumdiagrammen und Vierfeldertafeln.
- 2erläutern, dass in Sachzusammenhängen klar zwischen P_B(A), P_A(B) und P(A∩B) unterschieden werden muss. Sie sind in der Lage, von der einen auf die andere bedingte Wahrscheinlichkeit zu schließen.
- 3erläutern die stochastische Unabhängigkeit zweier Ereignisse an konkreten Beispielen. Sie erkennen die stochastische Unabhängigkeit bzw. Abhängigkeit von Ereignissen an Baumdiagrammen und Vierfeldertafeln und prüfen rechnerisch.
- 4berücksichtigen verschiedene Aspekte, um aus Daten abgeleitete Aussagen kritisch zu hinterfragen, und unterscheiden dabei auch die Begriffe Korrelation und Kausalität.
Grundlagen der Differentialrechnung
12 Kompetenzen
- 1veranschaulichen die formale Definition der strengen Monotonie anhand geeigneter Skizzen. Sie erläutern, wie man aus der ersten Ableitung einer Funktion Rückschlüsse auf deren Monotonieverhalten sowie auf deren Extremstellen ziehen kann.
- 2berechnen Werte von Differenzenquotienten und deuten diese geometrisch als Sekantensteigungen. Sie interpretieren den Wert des Differenzenquotienten als mittlere Änderungsrate.
- 3erläutern die Definition des Differentialquotienten, deuten dessen Wert geometrisch als Tangentensteigung und interpretieren diese Steigung als Steigung des Graphen im zugehörigen Punkt.
- 4interpretieren das Krümmungsverhalten des Funktionsgraphen als Monotonieverhalten der ersten Ableitung und untersuchen das Krümmungsverhalten ganzrationaler Funktionen mithilfe der zweiten Ableitung.
- 5erläutern an Graphen von Funktionen die Bedeutung des Begriffs der lokalen Differenzierbarkeit; dabei skizzieren sie insbesondere Graphen von Funktionen, die an einzelnen Stellen nicht differenzierbar sind.
- 6unterscheiden bei Extremstellen und Wendestellen zwischen notwendigen und hinreichenden Bedingungen.
- 7erläutern die Definition der Ableitungsfunktion, schließen aus dem Graphen einer Funktion auf den Verlauf des Graphen der zugehörigen Ableitungsfunktion und begründen ihre Vorgehensweise.
- 8analysieren ganzrationale Funktionen hinsichtlich ihrer Eigenschaften durch flexible und reflektierte Nutzung der Methoden der Differentialrechnung.
- 9erläutern das Newton-Verfahren als Beispiel eines iterativen Näherungsverfahrens und bestimmen mithilfe dieses Algorithmus Näherungswerte für Nullstellen.
- 10leiten ganzrationale Funktionen ab und nutzen dabei auch die Faktor- und die Summenregel.
- 11interpretieren Werte von Ableitungsfunktionen als lokale Änderungsraten und nutzen diese Interpretation auch im Sachkontext.
- 12nutzen die Ableitung, um die Gleichung einer Tangente an einen Graphen aufzustellen und die Größe des Steigungswinkels der Tangente zu berechnen.
Jahrgangsstufe 12
Untersuchung von Funktionen – Stammfunktion, Produkt- und Kettenregel
8 Kompetenzen
- 1machen die Ableitungsfunktion der Sinusfunktion und die der Kosinusfunktion anhand graphischer Überlegungen plausibel.
- 2verstehen die natürliche Exponentialfunktion als eine Funktion, bei der der Funktionsterm und der Term der Ableitungsfunktion übereinstimmen. Sie differenzieren damit unter Nutzung von Produkt- und Kettenregel auch geeignete Verknüpfungen der Exponentialfunktion mit ganzrationalen Funktionen.
- 3analysieren ganzrationale Funktionen, insbesondere solche mit Parametern, hinsichtlich ihrer Eigenschaften durch flexible und reflektierte Nutzung der Methoden der Differentialrechnung.
- 4schließen aus dem Graphen einer Funktion auf den Graphen einer zugehörigen Stammfunktion und begründen ihre Vorgehensweise. Bei ganzrationalen Funktionen ermitteln sie zusätzlich aus dem Funktionsterm die Terme zugehöriger Stammfunktionen.
- 5machen durch einen Vergleich des Wachstums von Exponential- und Potenzfunktion die entsprechenden Grenzwerte plausibel.
- 6untersuchen einfache Verknüpfungen der Sinus- bzw. Kosinusfunktion insbesondere mit linearen Funktionen nun auch mit den Methoden der Differentialrechnung.
- 7untersuchen gezielt mit den Methoden der Differentialrechnung geeignete Verknüpfungen der natürlichen Exponentialfunktion mit ganzrationalen Funktionen hinsichtlich deren Eigenschaften.
- 8lösen Problemstellungen in Sachkontexten, insbesondere im Rahmen der Modellierung von Wachstums- und Abklingvorgängen, und führen dabei auch beliebige Exponentialfunktionen auf die natürliche Exponentialfunktion zurück.
Zufallsgrößen und Binomialverteilung
5 Kompetenzen
- 1formulieren eine axiomatische Definition von Wahrscheinlichkeit und folgern aus den Axiomen weitere Aussagen über Wahrscheinlichkeiten.
- 2erläutern die Begriffe Zufallsgröße, Wahrscheinlichkeitsverteilung sowie kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilung und bestimmen Erwartungswerte, Varianzen und Standardabweichungen.
- 3führen Sachsituationen durch Analogiebildung auf Urnenmodelle zurück und bestimmen die Anzahl möglicher Ergebnisse auch unter Zuhilfenahme von Binomialkoeffizienten.
- 4modellieren Sachzusammenhänge mit Bernoulli-Ketten und verwenden die Binomialverteilung bei der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten.
- 5berechnen mithilfe der Parameter der Binomialverteilung den Erwartungswert und die Standardabweichung einer binomialverteilten Zufallsgröße und beschreiben den Einfluss der Parameter auf die grafische Darstellung.
Einseitiger Signifikanztest
4 Kompetenzen
- 1beschreiben anhand eines Beispiels das grundsätzliche Vorgehen bei einem einseitigen Signifikanztest und erläutern, inwiefern die Zielsetzung des Tests die Wahl der Nullhypothese beeinflusst.
- 2berechnen für einseitige Signifikanztests die Wahrscheinlichkeit für den Fehler erster Art sowie unter Annahme der Gültigkeit einer konkreten alternativen Hypothese die Wahrscheinlichkeit für den Fehler zweiter Art.
- 3bestimmen bei gegebenem Signifikanzniveau den Ablehnungsbereich eines einseitigen Signifikanztests.
- 4interpretieren Ergebnisse einseitiger Signifikanztests im Sachzusammenhang und widerlegen Fehlinterpretationen.
Untersuchung von Funktionen – Quotientenregel, Umkehrfunktion
8 Kompetenzen
- 1verstehen die natürliche Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion und nutzen diesen Zusammenhang, um den Funktionsterm der Ableitungsfunktion der natürlichen Logarithmusfunktion herzuleiten.
- 2schließen mithilfe der strengen Monotonie auf die Umkehrbarkeit einer Funktion und erläutern insbesondere bei Quadrat- und Wurzelfunktion, wie die Graphen von Funktion und zugehöriger Umkehrfunktion auseinander hervorgehen.
- 3leiten einfache gebrochen-rationale Funktionen ab; hierfür nutzen sie insbesondere die Quotientenregel.
- 4wenden bei der Untersuchung einfacher gebrochen-rationaler Funktionen nun auch die Methoden der Differentialrechnung reflektiert an.
- 5leiten Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten sowie Verknüpfungen dieser Potenzfunktionen ab; hierfür nutzen sie flexibel die Produkt-, die Quotienten- und die Kettenregel.
- 6untersuchen in einfachen Fällen Verknüpfungen der natürlichen Logarithmusfunktion mit Funktionen bisher bekannter Funktionstypen auch mit den Methoden der Differentialrechnung.
- 7untersuchen einfache Verknüpfungen der Wurzelfunktion mit Funktionen bisher bekannter Funktionstypen auch mit den Methoden der Differentialrechnung.
- 8untersuchen u. a. mithilfe der Quotientenregel einfache Verknüpfungen von Funktionen bisher bekannter Funktionstypen.
Grundlagen der Koordinatengeometrie im Raum
5 Kompetenzen
- 1stellen im dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem Punkte, Figuren sowie Körper dar. Sie begründen anhand der Koordinaten von Punkten die besondere Lage von Figuren im Koordinatensystem.
- 2bestimmen rechnerisch und grafisch Summen, Differenzen sowie skalare Vielfache von Vektoren im dreidimensionalen Raum.
- 3bestimmen mithilfe des Skalarprodukts Längen von Vektoren sowie Größen von Winkeln zwischen Vektoren und nutzen dies für Argumentationen an Figuren.
- 4nutzen das Vektorprodukt, um einen zu zwei Vektoren orthogonalen Vektor zu bestimmen sowie um Flächeninhalte von Parallelogrammen und Dreiecken und Volumina geeigneter Körper zu berechnen.
- 5wenden bei Berechnungen an geometrischen Körpern und Figuren sowohl die grundlegenden Konzepte und Strategien aus der Unter- und Mittelstufe als auch die Vektorrechnung flexibel an.
Vertiefungskurs: Komplexe Zahlen
6 Kompetenzen
- 1begründen die Notwendigkeit, die Menge der reellen Zahlen zur Menge der komplexen Zahlen zu erweitern.
- 2stellen komplexe Zahlen in der algebraischen Form z = a + bi dar, berechnen Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten zweier komplexer Zahlen und deuten Addition und Subtraktion geometrisch in der Gauß'schen Zahlenebene.
- 3stellen komplexe Zahlen in der Polarform dar, wechseln sicher zwischen dieser und der algebraischen Form und deuten Multiplikation und Division geometrisch.
- 4lösen quadratische Gleichungen über der Grundmenge der komplexen Zahlen.
- 5berechnen Lösungen von Kreisteilungsgleichungen der Form z^n = 1 und interpretieren die n-ten Einheitswurzeln am Einheitskreis.
- 6untersuchen im Zusammenhang mit der Mandelbrot-Menge Folgen komplexer Zahlen auf Beschränktheit.
Vertiefungskurs: Folgen und Reihen
5 Kompetenzen
- 1beweisen mathematische Aussagen mithilfe des Verfahrens der vollständigen Induktion.
- 2ermitteln die Folgenglieder explizit definierter Folgen und rekursiv definierter Folgen. Umgekehrt stellen sie zu vorgegebenen Folgengliedern ein geeignetes Bildungsgesetz auf.
- 3untersuchen Folgen in Bezug auf Monotonie und Beschränktheit, schließen daraus ggf. auf die Konvergenz und bestimmen bei konvergenten Folgen deren Grenzwert.
- 4beschreiben Reihen als Folgen von Partialsummen und begründen die Divergenz der harmonischen Reihe. Sie erläutern, unter welcher Bedingung geometrische Reihen konvergieren, und berechnen in diesen Fällen den jeweiligen Grenzwert.
- 5erläutern die Grundidee der Konstruktion von Taylorpolynomen n-ten Grades und nähern u. a. die natürliche Exponentialfunktion durch Taylorpolynome an.
Vertiefungskurs: Matrizen
6 Kompetenzen
- 1beschreiben einstufige Übergangsprozesse mithilfe von linearen Gleichungssystemen, Übergangsgraphen, Tabellen und Übergangsmatrizen und wandeln die verschiedenen Darstellungen flexibel ineinander um.
- 2notieren lineare Gleichungssysteme mithilfe von Matrizen und Vektoren und lösen diese mithilfe des Gauß-Algorithmus.
- 3addieren Matrizen und multiplizieren Matrizen mit einem Skalar. Sie berechnen das Produkt zweier Matrizen und deuten diese Multiplikation im Zusammenhang mit mehrstufigen Prozessen.
- 4erläutern, inwieweit Rechengesetze der Multiplikation reeller Zahlen auch für die Matrizenmultiplikation zutreffen, bestimmen von invertierbaren Matrizen das Inverse.
- 5berechnen Potenzen von Matrizen und bestimmen bei mehrstufigen Prozessen ggf. Fixvektoren und deuten diese im Sachzusammenhang.
- 6berechnen für Übergangsprozesse mit absorbierenden Zuständen Absorptionswahrscheinlichkeiten.
Vertiefungskurs: Zahlentheorie und Kryptologie
5 Kompetenzen
- 1erläutern die Funktionsweise des euklidischen sowie des erweiterten euklidischen Algorithmus und wenden beide an Beispielen an.
- 2verwenden die modulare Arithmetik, um Werte von Potenzen modulo n effizient zu berechnen; sie lösen unter Bezug auf den chinesischen Restsatz simultane Kongruenzen.
- 3beweisen den kleinen Satz von Fermat.
- 4erläutern das Prinzip des RSA-Verfahrens als Beispiel für eine asymmetrische Verschlüsselung, verschlüsseln Nachrichten mithilfe dieses Verfahrens.
- 5erläutern die Funktionsweise eines Primzahltests oder eines Faktorisierungsverfahrens.
Vertiefungskurs: Statistik
4 Kompetenzen
- 1erläutern anhand von Beispielen die wesentlichen Eigenschaften der unterschiedlichen Skalenniveaus und stellen Zusammenhangs-, Unabhängigkeits- und Unterschiedshypothesen auf.
- 2erläutern anhand von Streudiagrammen die Grundidee der linearen Regression und berechnen die Werte von Korrelationskoeffizienten und interpretieren diese.
- 3beschreiben das grundsätzliche Vorgehen beim Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest oder beim t-Test und bestimmen p-Werte unter Verwendung einer Statistik-Software.
- 4prüfen mediale Darstellungen von Daten auf Korrektheit und analysieren den manipulativen Charakter fehlerhafter Darstellungen.
Jahrgangsstufe 13
Flächeninhalt und bestimmtes Integral
8 Kompetenzen
- 1deuten das bestimmte Integral als Flächenbilanz und nutzen dies für Argumentationen.
- 2definieren den Begriff Integralfunktion und beschreiben seine Bedeutung; sie verwenden eine dynamische Mathematiksoftware, um den Zusammenhang zwischen den Graphen von Integranden- und Integralfunktion anhand von Flächenbetrachtungen zu erläutern.
- 3begründen den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung mithilfe anschaulicher Überlegungen und berechnen Werte bestimmter Integrale mithilfe von Stammfunktionen.
- 4schließen vom Graphen einer Funktion auf den Verlauf des Graphen einer zugehörigen Integralfunktion und umgekehrt.
- 5ermitteln Terme von Stammfunktionen, auch unter Verwendung der Integrationsregeln.
- 6berechnen mithilfe der Integralrechnung Inhalte von Flächen, die durch Funktionsgraphen begrenzt sind. Dabei interpretieren sie auch uneigentliche Integrale und ermitteln deren Werte.
- 7interpretieren das bestimmte Integral als Gesamtänderung einer Größe und wenden dies in Sachzusammenhängen an.
- 8bestimmen mithilfe der Integralrechnung das Volumen eines Körpers, der durch Rotation eines Funktionsgraphen um die x-Achse entsteht.
Normalverteilung
4 Kompetenzen
- 1unterscheiden diskrete und stetige Zufallsgrößen anhand von Beispielen und nutzen zur Darstellung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen Histogramme sowie die Graphen von Dichtefunktionen und kumulativen Verteilungsfunktionen.
- 2machen die Bedeutung der Normalverteilung damit plausibel, dass die Erhebung von Messwerten häufig zu glockenförmigen Histogrammen führt.
- 3erläutern die grundlegenden Eigenschaften der Dichtefunktion und der kumulativen Verteilungsfunktion einer normalverteilten Zufallsgröße. Sie entnehmen dem Term der Dichtefunktion den Erwartungswert und die Standardabweichung.
- 4bestimmen die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Werte einer normalverteilten Zufallsgröße in einem bestimmten Intervall liegen. Sie ermitteln außerdem zu vorgegebenen Wahrscheinlichkeiten passende Intervalle, wo möglich auch unter Verwendung der Sigma-Regeln.
Geraden und Ebenen im Raum
6 Kompetenzen
- 1stellen die Gleichungen von Geraden und Ebenen in Parameterform auf und deuten die lineare Abhängigkeit bzw. lineare Unabhängigkeit von Vektoren anschaulich.
- 2stellen die Gleichungen von Ebenen in Normalen- und Koordinatenform auf und ziehen ggf. aus der Ebenengleichung Rückschlüsse auf die besondere Lage der Ebene im Koordinatensystem.
- 3ermitteln systematisch und begründet die gegenseitige Lage von Geraden, von Ebenen sowie von Geraden und Ebenen zueinander und berechnen ggf. Schnittpunkte, Schnittgeraden sowie Schnittwinkel.
- 4bestimmen den Abstand zweier Punkte, eines Punkts von einer Geraden oder einer Ebene, zweier windschiefer oder paralleler Geraden, zweier Ebenen sowie einer Geraden von einer Ebene, ggf. auch unter Verwendung der Hesse'schen Normalform.
- 5stellen Gleichungen von Kugeln in Koordinatenform auf und bestimmen die gegenseitige Lage von Kugeln und Geraden sowie von Kugeln und Ebenen.
- 6wenden bei Berechnungen an geometrischen Objekten Methoden aus der analytischen Geometrie sowie grundlegende Konzepte und Strategien aus der Unter- und Mittelstufe flexibel und situationsgerecht an.
Anwendungen der Differential- und Integralrechnung
4 Kompetenzen
- 1wenden ihre bisherigen Kenntnisse der Differential- und Integralrechnung bei der Untersuchung verknüpfter Funktionen, auch mit Parametern, an.
- 2bestimmen aus gegebenen Bedingungen die Werte von Parametern eines Funktionsterms.
- 3lösen Extremwertprobleme zu inner- und außermathematischen Fragestellungen.
- 4wenden die Methoden der Differential- und Integralrechnung in Sachzusammenhängen flexibel und reflektiert an; sie interpretieren und validieren ihre Ergebnisse.
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Häufige Fragen
Lehrplan Mathematik – Gymnasium Bayern
Wie viele Kompetenzen umfasst der Lehrplan Mathematik für Gymnasium in Bayern?+
Der Lehrplan Mathematik am Gymnasium in Bayern umfasst 291 Kompetenzen, gegliedert in 49 Lernbereiche über 9 Jahrgangsstufen.
Welche Lernbereiche deckt Mathematik am Gymnasium in Bayern ab?+
Zu den Lernbereichen gehören unter anderem: Natürliche und ganze Zahlen – Addition und Subtraktion, Geometrische Figuren und Lagebeziehungen, Natürliche und ganze Zahlen – Multiplikation und Division, Größen und ihre Einheiten, Rationale Zahlen, Flächeninhalt und Volumen, Prozentrechnung, Daten und Diagramme, Terme mit Variablen und weitere.
Wie plane ich eine Unterrichtsstunde Mathematik passend zum Lehrplan?+
Mit Didoria wählst du einen Lernbereich aus diesem Lehrplan und erhältst in Minuten eine fertige, lehrplankonforme Unterrichtsstunde mit Lernzielen, Phasen und Methoden.
Ist dieser Lehrplan Mathematik aktuell?+
Ja. Die Kompetenzen und Lernbereiche folgen dem gültigen Lehrplan für Mathematik am Gymnasium in Bayern.